“哲学前沿”课程讲座第十二讲纪要 | 朱一文：中国古代数学的概念、逻辑与推理

       朱老师指出，中国古代数学传统是多元的，具体看分为以下九种：数学竹简所反映的行政活动中的实用数学、《墨经》所反映的几何知识、以《九章筭术》为代表的传统算学、由郑玄而下，自南北朝兴起的儒家算法传统（即经算）、历法实践中的数学、音律实践中的数学、军事活动中的数学、象数易学中的数学、明代商业活动中的数学。随后，朱老师详细为大家介绍了其中四种的具体内容。

       首先是以《九章算术》为代表的筹算传统，其特点为术文和筹算过程的互动，即筹算过程并非单向地实施算法。首先，同一筹算过程有着不同的文本含义，如将算筹从上至下排3个数，假设为a、b、c，那么就有分数、乘法、通分内子、方程四种不同的理解方式，要根据具体文本来选择含义。其次，筹算操作过程也影响着具体的术文算法，如《九章》中方程一章在解方程的过程中需要使用“直除”的方法，刘徽注将此法改进为“互乘相消”。在具体运算中，《九章》直除法运算步骤较多，但是动用的算筹较少；互乘相消法运算步骤较少，但是动用的算筹较多，故使用哪种算法要取决于现实情况。秦九韶发明“算图”，将筹从地上移到纸上，算图具有算筹的全部功能，却没有算筹的数量限制，秦氏就可完全废除方程直除法，运用互乘相消法。

       第二是古代历算家进行天文学计算中的历算传统。与《九章》传统相同，历算也使用算筹。但与传统算学用法不同的是，传统算学的算筹表示的是不带单位的数，而历算的算筹表示的是单位为“筭”（等于“年”）的数。传统算学追求用算的简约，历算是国家行为，可以提供海量的算筹以供计算。按吴文俊先生的看法，算筹是计算机的硬件，算法是计算机的软件，那么历法的算筹就是一超级计算机的硬件，并由此也导致其软件（即算法）的不同。并且在历法追求知识的私密性，故其问题与术文往往不写下来，即形成隐题和隐术，这一特征在同样强调知识私密性的军事活动中也存在。

       第三是在儒家注疏中存在的经算传统。朱老师指出，自汉儒郑玄引《九章》注解儒家经典始，历经魏晋南北朝学术之演进，儒者在注疏儒家经典的过程中发展出了一套与《九章》不同的数学系统。不同于《九章》以问题和术文为文本特征，以筹算操作为实作过程，经算则表现为以文字进行推理和演算。朱老师以贾公彦疏《周禮》“㮚氏爲量”为例，认为贾公彦注疏计算过程没有明确的数学问题，但又不同于历算隐题，属于默会的数学问题。其对数和图都采取运作性理解（operational），而非传统算学的结构性认识（structural）；其算法的结构依赖其说注解的文字，没有传统算学的构造性和机械化特色；其逻辑和推理过程都依靠文字的汉字表达和其所设想的图形完成，具有一目了然的特点，不同于传统算学的寓理于算。以上都是经算所普遍具有的特点。

       第四是象数易学中的数学传统。宋代象数易学兴盛，宋儒创造黑白点图用来解释大衍筮法、河图洛书。朱老师指出宋儒使用黑白点图来解释易数可能与宋代围棋的兴盛有关，宋儒一般使用黑点表偶数，白点表奇数，当时棋书中与此用法相同。大衍筮法原是以蓍草作为实作工具，黑白点图建立了黑白点与蓍草之间的关系，河图洛书原先并无明确的数理解释，黑白点图使其数理进入图书之学的领域。但宋儒并无探讨大衍筮法、河图洛书算理之倾向，南宋算家秦九韶、杨辉将之纳入数学著作（《数书九章》《续古摘奇算法》之中，分别讨论了筮法与河洛的算理。

       讲座的最后，朱老师谈到了此次讲座的内容对后续数学史、数学哲学、数学编年史等领域的意义。首先在数学哲学领域，从本报告来看，算筹、文字、黑白点、图、符号都是不同的表征（mathematical represent），由此导致所接触的数学对象之不同，以及由此进行的推理过程有所不同，并导致了不同的数学知识和实作传统。而数学哲学家都以西方数学与现代数学为研究对象，而缺乏对中国及世界其他文明各种数学传统的考虑，故其结论的普遍性有所不足。

       在数学编史学议题中，朱老师指出传统的中国数学史分期均以王朝分期为主，这种分期方法割裂内史和外史，混淆了知识的传承与创造，仍以数学成就和传统数学文献为主，未跳出英雄史观的窠臼。根据这次报告，我们编写数学史时可以以多元数学传统为纲，遂自然融合内外史；扩展数学史研究文献，遂自然跳出了成就和英雄史观；在此基础上，遂自然亦贡献于数学哲学研究，而非单向受到某种数学哲学理论的影响。

       面对中国科学史领域著名的“李约瑟之问”，朱老师也给出了一些新的视角。李约瑟将数学史的发展看作各民族科学技术之河汇入了现代自然知识的海洋的过程，通过此次报告，我们可以发现某一地区的数学传统必然是多元的，而非单一的，对多元数学传统，尤其是非数学活动中的数学知识和实作，是理解数学本质的关键。数学的发展有人为选择的因素，因此不具有必然的目的性，其主因不是社会和实用的需要。因此李约瑟之问实际隐含了一些不正确的预设，因此有必要在新的视角下对之反思和重审。

 

四、互动与交流

       在互动与交流环节，何老师首先总结了此次讲座的主要内容，然后指出了朱老师的研究对他本人在中国逻辑史研究中的启发：首先是中国逻辑史的研究的三个重点在先秦逻辑、佛教因明逻辑、西方逻辑的传入，这三个部分除先秦外，均以国外传入的学说为主，通过朱老师的展示，何老师认为我们可以通过中国古代数学材料来发掘中国古代本土的逻辑推理；其次在逻辑史的研究中，我们往往会关注大量的逻辑学理论与方法，而缺乏对具体论辩过程的关注。

       随后，同学们积极的向老师提出疑问，针对“中国数学有没有几何和算术的区分？”问题，朱老师指出中国古代与西方不同，是以算法区分数学分支，如《九章算术》就以算法的不同分为九个部分。从我们今天的角度来看，方田、商功、勾股是以解决平面几何问题为主的算法。针对“数学如果倾向多元化的理解会不会消解科学上的划界？”问题，朱老师认为这个问题实际上是存在的，如数学史先驱蒙特卡把所有数学化的知识都理解数学知识，三角学在以往被认为是天文学知识，在现代则是被认为是数学知识，通过这些例子我们可以发现学科的界线是随着时代而变动的，不同时代的学者对数学的理解有着很大的不同，因此数学的探讨是有人为选择的因素，我们探讨数学哲学需要把曾经出现的数学形式都纳入讨论之中。针对“郑玄注与贾疏的运算方法的不同”问题，朱老师认为郑玄是以《九章》注解经典，郑玄的算法就是《九章》中的筹算方法，贾疏为适用经学的发展，推理过程都用文字表达出来，是属于笔算方法，并且儒家的笔算算法影响了我们接受西方数学，这也是中国算学多样性的优势所在。

       最后，讲座在热烈的掌声中圆满结束。