“哲学前沿”课程第十五讲纪要｜朱一文：从数学史研究中的反时代性问题看数学的本质

        2023年6月2日下午，中山大学哲学系22级研究生“哲学前沿”课程第十五讲在锡昌堂103室举行。讲座主题为《从数学史研究中的反时代性问题看数学的本质》，由中山大学哲学系朱一文副教授主讲，任远副教授主持。

主讲人中山大学哲学系朱一文副教授

主持人中山大学哲学系任远副教授

        朱一文老师首先介绍了自己以中国数学史为研究方向的研究历程，并就此切入他从研究实践中总结出的几条经验和方法。其一，根据研究对象和研究目的的差别，数学史研究灵活采取辉格或反辉格立场。其二，要讨论数学哲学议题，则数学史研究必不能被某种数学哲学理论所指导，而只能从“数学实际是什么”（而非“数学应该是什么”）的角度分析数学实作（mathematical practice）。其三，以数学史研究的角度看，以往数学哲学中一些虚构案例必须慎重考虑，案例中的一些重要方面可能未被抽象出来。其四，一些辉格史研究框架，诸如纯数学-应用数学、理论数学-实用数学等分野，无助于数学史和数学哲学研究，是必须被解构的。其五，不必预先设定数学的定义再做研究，而是从数学史的进路，采取自下而上的研究路径。通过具体案例的分析来考虑数学的本质，构建数学哲学研究的方法。数学就是从古至今数学的全集，回答“什么是数学”是研究目标，而不是研究的起点。

        接着，朱老师基于Anachronisms in the history of mathematics 这本著作展开对数学史研究的反时代性问题的探讨。首先，朱老师对反时代性问题做出说明，指出反时代性是理论性的定义。例如表面上数学符号是相同的，但是以前人和现在的人的使用、目的等都存在着差异，忽视和不理解这种差异，就犯了反时代性错误。不同于一般的“时代错误”、“时代误置”的翻译，朱老师将其翻译成“反时代性”，是为了区别于历史学意义上的生卒年错误等这类“时代错误”的情况。反时代性中蕴含着这个数学史重大问题，即我们是应该更加强调过去数学和今日数学之间的的连续性还是差异性？它进而涉及到两个重大的合法性问题：（1）是否可以用今天的数学语言翻译过去的数学？（2）是否能用今天的数学标准来衡量过去的数学？

        反时代性和辉格解释具有相似性，但两者又有差异。牛津数学史手册The history of mathematics: A very short introduction一书中，作者Jacqueline Stedall认为今天的数学史研究中的一个非常重大的问题就是辉格数学史，即认为以前的数学发展和进步都是为了达到今日数学的辉煌成就。这实际上是一种英雄史观，即将过往杰出数学家们所取得的成就视作是为了达到今日的数学成果，建立一种辉煌的历史进程。辉格史观过度以今日的数学为标尺，对以往数学的评判都以是否对今日数学有用来加以衡量，并且忽视了以往数学发展的艰辛曲折。对辉格史的批判还来自于，今天的数学本身仍在不断的发展，从坚持历史客观性的角度来看，我们也不能以今天的数学为唯一的标尺。反时代性则与对辉格解释有所不同，它更加强调数学的发展中本身存在一种需要被时刻关注的变化，它既包括从以前数学到现在数学所发生的变化，也包含着数学发展进程中时刻发生的变化。朱老师以文艺复兴时期人们对古希腊数学的复兴和理解为例，指出当时的人们并没有真正完全理解古希腊数学，在此意义上已经有了反时代性。两者相比较，辉格解释是从历史领域巴特菲尔德的定义引入到对数学史的理解，和历史学研究更加密切；而反时代性则不仅是数学史研究中，而且是数学发展过程中时刻可能发生的问题，因此和数学的特性更加密切。

        反时代性问题的历史根源，起源于温古鲁(Sabetai Unguru)撰文批评对于古希腊数学的现代代数学解释，即对古希腊几何问题做出代数解释，由此引发了对反时代性问题的激烈探讨。温古鲁强调，以欧几里得《几何原本》为代表的古希腊数学中，并不存在代数解释。但其反对者则强调，代数解释尽管形式不同，但它与古希腊的几何解释的实质是相通的。朱老师援引了郑方磊学者的研究，指出“几何代数”所涉及的这一反时代性问题早在文艺复兴时期就已经存在了。

        追溯这一问题的历史根源，就会与其哲学本质联系在一起。《爱思唯尔科学哲学手册：数学哲学》指出，反时代性问题背后是一种数学的柏拉图主义的认识，即将数学视作是一种永恒不变、颠扑不破的真理，认为数学就此可以跨越不同时代的差异。但数学的稳定性并不一定意味着柏拉图主义。数学本身只有数千年的历史，即使一个数学知识在数千年内保持不变，也不能就此将之视作是永恒不变的真理。也因此，即便从数学史的角度解决了反时代性问题，也只是解决了有限的四千年数学史之内的问题。

        反时代性问题还涉及到数学的形式与内容是否可以两分这一问题。比如针对古希腊几何命题的代数解释，温古鲁认为不可用代数来解释几何命题，实质是认为数学的形式和内容难以完全两分，不同的思考方式和表达方式相结合。又比如，古巴比伦数学采取六十进制，六十进制本身影响了其算法结构，六十进制本身构成了古巴比伦数学的内容，并不是简单的形式。朱老师认为，数学的形式与内容并非不可二分。但是问题在于人们往往会把内容和形式混淆，误将内容当作形式，误将形式当作内容。他认为，要在实际研究中确认数学的内容和形式，不能先入为主地确定数学的形式和内容。

        反时代性问题涉及到古代数学史与现代数学史的差别。古代数学史是文艺复兴时期之前的数学史，比如古巴比伦、古埃及、古代中国等等不同地区的数学史，具有典型的地域性，交流较少而相对封闭。现代数学史是大航海时代以来，具有全球性。相较于古代数学史，因为今天的数学就是现代数学史的延伸过来的，实际上是在一个体系内，从而我们更容易被反时代性所欺骗。古代数学史则有所不同。以古巴比伦泥板上用楔形文字表达的数学知识为例，Asger Aaboe1964年的文章认为古巴比伦数学虽然与今天的数学形式有差异，但内容实质具有相似性。Robson2008年的文章则认为，尽管古巴比伦数学所处理的对象看似与今日数学相同，但其实相距甚远。古代数学与今天数学的关系问题这一本身需要辨别，而这显示了古代数学史所呈现的反时代性问题更加尖锐。在实际的数学研究实践中，现代数学史要处理的是文艺复兴以来的数百年的细微的数学发展历史进程，这要求对现代数学知识的掌握；古代数学史则要注意古代文明与现代之间的差异和共通性，这对古代数学的背景知识的要求更高，例如研究古巴比伦数学更需要掌握亚述学的知识。

        反时代性问题还涉及到历史评价问题。针对笛卡尔的《几何学》一书，其附录中的直角坐标系、曲线方程等内容在今天被高度评价，而正文的内容在今天已经失去其意义。但笛卡尔本人想完成的工作是重构经典几何学，本人以及同时代的其他学者并不重视附录的内容。如何评价笛卡尔的工作，就涉及了反时代性问题。如果强调附录的重要性，则是以今日的数学为标准进行评价；而如果重视其正文的内容，则是回到相应的历史语境中。

        中国古代数学史研究中也显示了反时代性问题。林力娜的论文关注的是数学基于文本的反时代性。与今天回答专门数学问题的数学解法不同，中国古代数学具有重要的文本语境。中国古代数学问题提供了中国数学发展的重要文本语境，同时，中国古代数学文本中出现的数学问题提供了一种论证的依据。朱老师以《九章算术》为例，指出其经典数学问题形式同中国古代数学所发展出来的算法内容密切相关，正是中国古代数学所呈现的问题-答案-算法的这种典型形式才使中国数学发展出一套完整的算法。林力娜认为，在进行中国古代数学研究的时候，人们在数学文本上犯了反时代性错误，容易以今天数学的方式来理解古代数学的问题、算法和图形等。而实际上，中国古代的数学问题有其特定的处理语境和理解方式，一些图形往往能起到证明的作用。另一篇德国学者Martina的文章涉及到中国剩余定理的理论解释及重构过程中呈现的反时代性。中国剩余定理本身是以汉字在古代特定语境中提出的，将其翻译成西方现代数学用语的过程中，形成了多个不同的解释版本，这一翻译和重构过程中必然会出现反时代性。朱老师进一步补充，原始的剩余定理本身就包含至少3种表达形式，本身就具有多样性，这就使得其反时代性问题更加复杂。

        从反时代性问题看数学的本质。朱老师首先评判了林夏水《数学哲学》中的部分观点。针对数学对象是有层次性的、数学认识的问题是经验和逻辑的问题等观点，朱老师强调其中包含着反时代性的建构和认识错误。朱老师进而探讨了自己对反时代性问题和数学本质的理解。反时代性和数学本身的特质相关。数学一旦出现，就具有反时代性的问题，这源自于人们对稳定性、永恒的数学知识的渴求。另一方面，正是在人类追求反时代性过程中，数学获得前进和发展。也因此，一定意义上，数学史也是不断和反时代性问题挑战的过程。

        最后，朱老师结合克莱因《古今数学思想》的内容进行小结。克莱因指出，19世纪末至20世纪初的几十年，是数学史上独一无二的时期，它所呈现的数学特征不具备普遍性，数学发生了高度的专业化和脱节现象。不同于以往数学建基于经验和实用的基础之上，这一时期对数学严密性的过分追求引发了数学危机。朱老师指出，数学史研究、数学哲学正是在20世纪初这一特殊时期兴起的。由于19世纪末的人们确信他们的知识体系是完美的，理所当然的以所处时代的标准去衡量以往的数学知识和成就，因此数学哲学自诞生起就带有反时代性。基于数学哲学及其问题的反时代性的历史根源，数学哲学的问题并不具有如此普遍性，朱老师认为，数学哲学可以更多考虑数学史的研究案例，更与历史维度相结合。

        报告结束后，任远老师就讲座内容进行评议。他首先补充了数学家对中国数学的看法，即认为中国古代数学没有对数学求真的理论探讨，而本质是一种工程技术。接着，任远老师提出了几点问题。其一，将Anachronism译作“反时代性”，是否会造成一种歧义，即认为数学似乎是不受时代干扰的。其二，20世纪初，数学哲学的一大争论是数学究竟是实在论还是虚构主义的。这里所探讨的则是反时代性现象对数学对象所提出的质疑。就此，可能有必要区分数学的本质和数学实践的本质。他进而质疑，以一种历史方法来否定数学的共识性结构的存在是否会有问题。其三，究竟如何看待古代数学和现代数学的关系？究竟现代数学和古代数学之间是不可通约的，还是可以用现代数学来解释古代数学？朱老师回应称，数学史研究中的反时代性并不涉及数学知识或者数学实践背后的真理的问题，因此数学史研究和数学哲学的讨论是可以同步进行的工作。对于古代数学和现代数学之间的关系问题，朱老师认为这个问题充满矛盾，一方面，可以从历史直观的维度看到两者的差异和断裂，另一方面在实际研究中可以发现两者间的延续性，今天的数学对古代的数学不可能完全没有解释力。在此，他认为只能给出一个弱结论，即人类对稳定性的永恒知识的追求造成了数学的反时代性现象，这是在数学发展过程中随时发生的。

        随后，朱老师一一回答了现场同学的积极提问。讲座最终圆满结束。