哲学前沿课程第十六讲回顾 | 朱一文：从对数学史的误解看数学的本质

        2022年6月9日晚，由朱一文副教授主讲，沈榆平副教授主持的中山大学哲学系研究生“哲学前沿”课程第十六讲“从对数学史的误解看数学的本质”在锡昌堂103讲学厅举行。

       朱老师首先介绍选题缘起及学理进路。他根据自身研究与教学经历观察到数学史常被引用作思考数学本质等问题的立论支撑，然而引用者却没有意识到呈现的数学史成果是研究者的方法、立场与一手历史文献的复杂互动的结果。这种认识不但违背了数学史本身的学术性内涵，而且往往导致许多对数学史的误解，并低估了数学史对数学哲学、数学编史学等理论议题的意义。朱老师认为，完全脱离描述称述来讲规范称述是没有意义的，并指出在实作转向（Practice Turn）后两者的联系已经不再受到怀疑。因此，朱老师认为对误解的澄清有助于推进我们对于数学本质的理解。

       朱老师首先从美国学者克洛（Michael J. Crowe）所论广泛存在于数学及其历史的“十大误解”入手展开剖析。这十条误解分别是：一.数学方法是演绎的、二.数学提供确定的知识、三.数学是累积的、四.数学论断总是正确的、五.数学结构精确地反映了其历史、六.数学证明是没有问题的、七.关于严格的标准是没有变化的、八.数学方法从根本上不同于科学方法、九.数学承认决定性的证伪、十.数学方法论的选择是经验主义、形式主义、直觉主义和柏拉图主义。

       在逐个分析克氏所论十条误解之后，朱老师总结道：克洛这十条误解的前九条可以说是把现代数学的形象投射于数学史而产生的。所谓“数学”，对其他人来说可能仅指现代数学，但对数学史家来说是历史上所有数学的合集（现代数学是其中的一部分）。朱老师进一步补充认为，尽管克洛正确地指出了具体误解，但克洛对这些误解的反驳仅用到古希腊数学之欧几里得《几何原本》与17世纪以来的现代数学史案例，并未引用非西方、非现代数学史的研究案例，其实分析是不够的。第十条误解说明了数学史对于相关理论议题探讨的价值。

       以中国数学的历史经验为中心，朱老师指出还应增列三条国内学术界普遍存在的关于数学史之具体误解，分别是：一.历史上有三次数学危机（数学危机说）、二.数系的扩张代表着数学的进步（数系演进说）、三.现代数学是西方数学（西方数学说）。

       朱老师通过分析当今相关数学史研究成果后认为，仅有第三次“集合论悖论危机”能够称之为数学危机，所谓“三次数学危机说”是二十世纪初的一些学者从数学基础是否可靠的逻辑回溯历史后所创造出来的。该说的问题在于没有遵循：应当从当时行动者而非后世观察者的角度判断是否有数学危机。该说背后是累积进步和西方中心主义的数学史观，并且存在着对库恩科学革命理论的误用。

       同样，通过分析古埃及、古美索不达米亚、古希腊、古印度和中国古代数学及现代数学史的研究案例，朱老师指出：数系扩张虽然符合现代数学的逻辑，但其实未必发生。古代文明对数的理解往往不同于现代数学，因而其数系扩张的过程和时间顺序亦非按现代数学的逻辑。

       最后，通过对现代数学史的回顾，朱老师指出现代数学并非等同于西方数学。朱老师认为现代数学具有混血性，即便是单一文明内也可能存在多个数学传统。此条误解实际反映了对世界数学史宏大叙事的误解。李约瑟“百川入海”说预设了仅有一个“海”、格拉比内（Judith V. Grabiner）的“砖块”说和克洛“数学城堡”说则皆是以西方与现代数学史为据，忽略考虑非西方和现代数学文明。朱老师进而提出：数学的发展是各文明间多样数学传统的接力。这意味着三点，首先是单一文明内允许多个接力轨道（如古希腊两种数学文化）；其次，前后两个数学接力棒，后者未必完全继承前者，却可以沿着前者发展（如古希腊天文学继承美索不达米亚六十进制位置值、又继承古埃及单位分数表达，发展出超越两者之几何学）；最后是数学发展无预设之终点（如中国传统数学虽被现代化，却同样保留珠算；又十七至十九世纪日本在中国传统数学基础上发展出和算，与同期欧洲之现代数学并进）。

       朱老师以林夏水《数学哲学》为例指出国内数学哲学著作中普遍存在这三条误解。例如，在本体论问题上，林夏水提出数学对象与量的层次性有关，但他所论量的层次性背后隐含了数系演进说，违背了历史事实。林夏水立论依据中所谓“第二次数学危机”带来的理论问题，恰恰没有被十七、十八世纪的数学家所关注；在认识论问题上，林夏水认为，古希腊时期，崇尚理性的兴起，特别是不可公度量（即无理数）的发现引起第一次数学危机，使一些数学家和数学哲学家认为，感性直观是不可靠的，只有理性演绎推理才能保证数学的可靠性。数学的研究重点由算术转向几何，研究方法由归纳转向演绎。在这一转变中，数学家逐渐建立起一套公理方法，产生欧几里得《几何原本》。但由于数学危机说的片面性，使得林夏水对所谓认识论问题（即经验与演绎之关系）亦是片面的。在此之外，朱老师还讨论了李约瑟问题和数学表征问题。朱老师认为，依李氏“百川归海”之理念，则该问实为“为何西方之川先于中国（或印度）入海？”但依文明接力说，不同文明本就未必以同样之海为归宿。故此问又实为不同接力路线之交接与转移之历史问题。就数学表征问题而言，从中国数学的历史经验出发，我们还可以提出物质数学工具（算具、算盘等）也是一种表征，并从数学演进路线之多头绪性来讨论是否存在一个数学世界。

      在最后的提问环节，朱老师对线下问题分别作了精彩的回应。讲座在掌声中完满结束。