“哲学前沿”课程第十五讲回顾 | 朱一文：我们如何理解非数学活动中的数学实践（mathematical practice）？

数学为什么可以应用于科学？这是数学史、数学哲学研究的重要课题。2021年6月16日晚上，中山大学哲学系研究生哲学前沿系列课程第15讲主要围绕这个话题展开。

本次讲座由中山大学哲学系陈少明老师主持，朱一文老师主讲。

在讲座的开始，陈少明老师介绍了朱一文老师的研究方向、研究特色。之后，朱一文老师正式开始讲座报告。

朱老师首先介绍了《我们如何理解非数学活动中的数学实践》这个题目的来由。他说，以往的数学哲学研究主要是在分析传统中进行的，那些数学哲学家主要是坚持了20世纪初寻找数学基础的那样一种研究进路。然而在20世纪70年代以后，学术界开始对分析传统的数学哲学提出批评，认为分析传统的数学哲学家们总是在无休止地辩论而得不出一个终极的答案，因此学者们提倡数学哲学研究的实践转向，即通过研究整个数学实践的具体过程来讨论数学中的哲学问题。这样一来，数学哲学的研究就慢慢地与数学史的研究形成了交叉。本次讲座的题目正是在这样的语境中产生的，主要是希望利用数学史的背景知识来思考哲学的问题。

接下来，朱老师介绍了数学的不可或缺性论题，即数学对于最佳的科学理论来说是不可或缺的。一般认为该论证是蒯因和普特南提出来的，即认为数、函数、集合等等数学实体像苹果、粒子这些实体一样实在，一样对科学理论做出了贡献。而数学的不可或缺性在一些物理学家看来就是数学的不可思议的有效性。在这里，朱老师引出了本次报告的核心问题：数学为什么可以应用于解释世界的科学？究竟如何理解数学在不同科学学科中的应用差异？

朱老师引用克莱因的《古今数学思想》指出，数学的可应用性问题仅仅是在现代数学中（17世纪以后）出现的。在17世纪以前，人们并不认为数学可以应用到任何领域之中，这种情况在17世纪以后慢慢发生了改变，这表现为科学的数学化或者说自然的数学化，而这使得科学家们逐渐把数学当作宇宙的语言。进入18世纪以后，数学不断扩展，数学与一些学科（比如工程学）之间的界限变得不那么明确，数学家从事工业技术问题的研究成为理所当然之事。到了19世纪，数学家的工作远远超出了科学技术的需要，他们提出并解答一些与实际问题无关的问题，数学家们感受到了一种创造任意结构的自由，这种趋势造就了今天的纯粹数学和应用数学的分裂。

然而，我们能不能就把数学的可应用性问题当作数学发展产生的历史问题呢？朱老师认为我们不能这么早地下结论，因为考虑数学的可应用性问题，我们不应该忽视任何一个历史时期、任何一个地域文明的数学实践。如果坚持这样的探究思路，那么我们就要思考到另外一个非常重要的问题：什么是数学？在朱老师看来，要对这个问题进行回答就要首先反对辉格数学史的立场。所谓辉格数学史，就是在研究中以现代数学去解释古代数学，它往往带有成就史观、英雄史观和爱国主义立场。然而，正如施泰达尔所说，辉格数学史一方面忽视了数学发展中的复杂性和今天看来失败和过时的东西，另一方面无法弄清数学发展的起源与过程。因此，我们应该反对只承认有一种具体形态数学（即现代数学）的辉格数学史立场，树立起一种有诸多不同形态的数学的观念。

接着，朱老师带领大家走进中国传统数学的文本，更深入地思考数学的可应用性问题。朱老师从宋代理学家朱熹的“四数”（即“易数”、“律数”、“历数”、“礼数”）区分开始展开论述，讨论“四数”所对应的“四学”（即易学、律学、历学、礼学）与算学（中国传统数学）的差异。

首先，在所使用的物质工具上。（1）就算学和历学而言，它们使用的都是算筹，但使用方式不同。在算学中，筹算操作与文本术文之间存在着互动关系，但历算中很少出现相对应的算法术文；另外，在算学活动中，算筹代表了较为抽象的数，但在历算活动中，算筹代表的是带有单位“算”的数。（2）就算学和易学而言，一方面，两者所使用的物质工具不同，比如南宋秦九韶使用的是算筹、算图，而朱熹在易学中使用的是蓍草、黑白点图，另一方面，两者的算理不同，比如秦九韶依据的是大衍术，而朱熹依据的是“四四数之”。（3）就算学和礼学而言，儒家礼学的算理通过文本写出，与传统算学不同。通过物质工具的对比，我们看到了算学在应用于“四学”的过程中所遭遇到的物质工具障碍，以及由于物质工具的差异所导致的“数”的观念和算法的不同。这就说明，物质工具作为一种数学表征，它们是整个数学体系的一部分，而不同的数学表征抓住的是数学知识的不同方面。

其次，在文本数学问题的形式上。经典的算学问题包含初始条件、提问、答案三个部分，它的数学问题是明确表达的。林力娜根据对《九章算术》刘徽注的研究认为，数学问题与算法之间有两种关系：第一，算法解答数学问题；第二，数学问题提供一个文本语境来理解某一算法的意义，而该算法又可以去建立另一算法的正确性。但是，在礼学研究中，郑玄等汉儒往往只给出算法的大概或计算的结果，而没有细节。后世儒家补充的算法也是为了说明郑玄注的正确性。在历算对上元积年的计算中，问题和算法都是隐藏的，文本只记载了答案，因此筹算操作只是为了证明文本记载的正确性。在易学中，历代儒家不认为有数学问题，直到南宋，秦九韶才创造出一个数学问题。这就说明，不同类型的数学问题可以提供发展不同类型数学知识的文本语境。

最后，朱老师与同学们一起反思中国传统数学的实践所带给我们的启迪。启迪主要有三点：第一，在中国传统数学中，李淳风、秦九韶等算家总是试图将算学领域中的知识和实践应用到其他领域，进而强调算学的重要性，但他们从未成功。这种情况直到晚晴现代数学传入中国以后才发生改变，而这种变化是权力结构的变化所导致的。由此可见数学的可应用性的根源不在于数学与世界结构之间的关系，而在于不同群体之间的权力关系以及他们思想上的某种同构性。第二，回到现代数学的语境中，数学家和其他自然科学家其实是在探究同一头大象（自然界）的不同部分，因而并不是数学家脑子里面发明了一套数学知识，然后就很奇妙地应用到了其他科学之中，而是他们探究着同一个世界，从而导致他们形成了类似的数学认识。第三，对于“什么是数学”这个问题，我们不能够通过先入为主地下定义这种方式来解决，下定义不能作为讨论“什么是数学”这个问题的起点，而是应该作为终点。

在朱老师的报告结束后，陈老师对朱老师的报告进行了精彩的点评，在场的同学也就相关的问题与朱老师进行了交流。最后，在同学们热烈的掌声中，本次讲座圆满地画上了句号。

（供稿：陈思宇）